二次方程

二次方程（英文：quadratic equation）係指只有一個未知數、最高次數係 2 {\displaystyle 2} 嘅多項式方程。比佢簡單嘅有線性方程，係最簡單嘅方程式。而二次方程就係繼線性方程之後被數學家研究嘅方程。如果用圖表畫出，就會得出一條拋物線。一般嚟講，二次方程可以寫做以下呢個樣：

解二次方程嘅其中一個方法就係配方法（completing the square）。假設有一條二次方程：

a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}

先確保 x 2 {\displaystyle x^{2}} 嘅常數係 1 {\displaystyle 1} ，所以成條式除以 a {\displaystyle a} 得出：

x 2 + b a x + c a = 0 {\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0}

再做配方法，配方法係利用 ( a ± b 2 ) 2 = a 2 ± a b + b 2 4 {\displaystyle \left(a\pm {\frac {b}{2}}\right)^{2}=a^{2}\pm ab+{\frac {b^{2}}{4}}} ，轉個轉方法寫出嚟，即係變成咁 a 2 ± a b = ( a ± b 2 ) 2 − b 2 4 {\displaystyle a^{2}\pm ab=\left(a\pm {\frac {b}{2}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}} ，再應用得出：

( x + b 2 a ) 2 − b 2 4 a 2 + c a = 0 {\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}=0}

咁整理一下：

( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 {\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}

將兩邊都開一次方，就得出：（注意，開方有正有負）

x + b 2 a = ± b 2 − 4 a c 4 a 2 {\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}}

再整理一次：

x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

呢條式就係著名嘅二次公式。

呢條公式去到17世紀先至有人砌到出黎。雖然喺1585年，數學家Simon Stevin係佢嘅著作L'Arithmetique入面已經有提到點樣解二次方程，但係佢就係用文字表達出嚟，而唔係用數學式。最後，數學家用咗四十幾年先可以正式解到。

巴比倫人應該係世界上第一族可以解到二次方程嘅人。早喺公元前2000年，巴比倫有一塊碑度記載咗點解二次方程，以下係英文翻譯：

「I have subtracted from the area the side of my square: 14.30. Take 1, the coefficient. Divide 1 into two parts: 30. Multiply 30 and 30:15. You add to 14.30, and 14.30.15 has the root 29.30. You add to 29.30 the 30 which you have multiplied by itself: 30, and this is the side of the square.[1]」

因為根號入面嘅數值會影響咗實根嘅數量，所以就有以下嘅判別式（discriminant）：

當所有係數 ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} 都係實數時，

當 Δ > 0 {\displaystyle \Delta >0} ，有兩個唔同嘅實根；

當 Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0} ，有兩個一樣嘅實根，叫重根；

當 Δ